7 + 5 = 12
Sven-Olov Wallenstein
Att 7 + 5 = 12 torde de flesta vara ense om; vi vet det utan att behöva testa det om och om igen; det blir inte oftast sju, utan är sju, är lika med sju utan att några invändningar verkar kunna göras. Men varför? De matematiska sanningarna bruka traditionellt räknas till förnuftssanningarna och inte faktasanningarna, truths of reason säger Hume, vérités de raison säger Leibniz, inte till truths of fact eller vérités de fait. Kant formulerar denna distinktion mellan sanningar som en mellan analytiska satser = predikatet P ligger i subjektet S och kan hämtas fram ur det genom analys, och syntetisk = P ligger utanför S och måste syntetiseras med det. De analytiska satserna kallar han a priori, det vill säga oberoende av erfarenheten, de syntetiska a posteriori, det vill säga beroende av den. Men han tillägger något, nämligen syntetiska a priori-satser; vilket är hans uppfinning: de ska vara oberoende av erfarenhetens faktiska innehåll, men ändå inte analytiska; de säger något om erfarenhetens nödvändiga struktur och tillhör inte bara transcendentalfilosofins fält, utan är det som visar att en sådan filosofi överhuvudtaget är möjlig.
Så är till exempel kausalitet som en av grunderna till den rena naturvetenskapens möjlighet ett syntetiskt apriori; den är en kategori med vars hjälp vi ordnar det empirisk materialet till en koherent helhet Den stöder sig inte på erfarenhet, utan är en betingelse för erfarenhetens möjlighet, samtidigt som den inte ger någon specifik kunskap om den inte syntetiseras med det empiriskt givna. Enkelt uttryckt: vi slutar inte leta förrän vi funnit en orsak, detta är en förutsättning för att händelser ska kunna ordnas på ett meningsfullt sätt; vi säger inte ”här finns en händelse som saknar orsak”, samtidigt som vi inte a priori kan sluta oss till vilken den enskilda orsaken är i ett givet fall. Men på vilket kan de matematiska satserna ha denna funktion. Visar inte den nödvändighet som tycks ligga i 7 + 5 = 12 att vi här att göra med en strikt logisk sanning?
Det matematiska exemplet
Diskussionen av vår sats är sammanflätad med den om geometrin i och med att de utgör de två vägar som leder in i transcendentalfilosofin och föregår den rena naturvetenskapen, och Kant uppfattar dem ofta som två sidor av samma sak. I fallet med aritmetikens satser , som i sin tur får stå för matematiken som helhet, utgår han från räknandet som en process och förbinder det med tiden. Begreppet om summan, skriver han, föreligger inte då jag utför additionen, ”endast de båda talens förening i ett enda, varigenom det inta alls blir tänkt vilket detta tal kan vara som sammanfattar de båda” (B15). Men vad innebär det att något ”blir tänkt” (gedacht wird), och vad avses med begrepp? Frågan, säger Kant, är inte ”vad vi ska tänka till det givna begreppet, utan vad vi verkligen (wirklich), om än bara dunkelt, tänker i det” (B 16).
Men är inte detta verkliga, faktiska, något rent psykologiskt och alltså empiriskt a posteriori? Psykologi är förvisso en term som inte hade samma innebörd för Kant som den skulle få senare, och än mindre känner han dess pejorativa variant ”psykologism”, som tar form hos Frege och Husserl ett århundrade senare och vilar på den mellanliggande tidens psykologiska omtolkning av Kant[1] – men ändå är det svårt att se att han inte skulle ha erkänt problemet. Samma sak gäller hans explikationer, att man måste träda ut i åskådningen och räkna på fingrarna: ”Man måste gå utanför dessa begrepp genom att ta de åskådning till hjälp som korresponderar med något av de båda talen, t. ex. sina fem fingrar eller … fem punkter och så efterhand foga enheterna av de i åskådningen givna fem till begreppet sju” (B16), eller, senare i Andra analogin, att ett abstrakt begrepp som storhet för att inte förbli ”meningslöst, dvs. sakna betydelse” måste genomgå en ”konstruktion i gestalten”; det ”söker sin stadga och mening i talet, men detta söks sedan i sin tur på fingrarna med räknebrädets koraller eller i streck och punkter som ställs upp till beskådande” (A240/B299). Lika lite förefaller argumentet att den syntetiska karaktären blir än tydligare vid ”större tal, eftersom det då framgår klart att vi – hur mycket vi än vrider och vänder på begreppen – aldrig kan finna summan genom den blotta analysen av våra tal” (B16), undvika den psykologiska fallgropen. Att det tar tid att räkna, att talen läggs till varandra efterhand och sedan ger summan är något faktiskt som inte förefaller ha med den aritmetiska operationen själv att göra.
Invändningen kan formuleras på olika sätt, men i grunden handlar den om likhetstecknet. Omformningsreglerna för aritmetiska uttryck låter oss säga att om 7 + 5 = 12 så är talen på båda sidor om likhetstecknet utbytbara: vi kan lika gärna säga 12 = 7 + 5, eller, helt enkelt 12 = 12, dvs. A = A. 7 + 5 = 12 och därmed alla aritmetiska satser vore alltså inget annat än olika sätt att utsäga identitetsprincipen.
Detta kan ses som grunden för Freges försök att visa att aritmetik inte är annat än logik, att den följer från motsägelselagen, vilket dock för att kunna genomföras kräver en härledning av heltalen från mängdläran. Men även om detta i sin tur misslyckas på annat sätt, på grund av den paradox som Russell upptäcker i den axiomatik som Frege antar för mängdläran, betyder det förvisso inte att Kant har rätt – men inte heller att har fel, även om hans specifika argument i början av Kritik av det rena förnuftet inte övertygar. Frågan är öppen.
Metafysiker kontra matematiker
Men hur kan vi då rekonstruera Kants tes? Hans framställer den som ett sätt att korrigera sina föregångare, metafysikerna och matematikerna, vilka han uppfattar som följer (A40f/B57f; jag bortser här från huruvida hans beskrivningar är rättvisande).
1) Metafysikerna, som här representeras av Leibniz och Wolff, antar att matematik är a priori och tillhör förståndet, medan rum och tid har abstraherats från erfarenheten: de är skapelser av vår inbillningskraft och har bara inherens, de är relationer, som Leibniz säger, inte något i sig själva.
För metafysikerna är matematiken därför såsom tillhörande förståndet a priori, samtidigt som den inte går bortom den gräns för erfarenheten som utgörs av rum och tid; applikationens område verkar på så sätt garanterat, men utan att den har någon apodiktisk säkerhet. I och med att rum och tid på vilken den appliceras är våra skapelser finns ingen nödvändig förbindelse till fenomenen och det matematiska skiljs från de objekt som ska beskrivas.
2) Matematikerna antar å sin sida rum och tid som i sig existerande, vilka utan att vara reala likt ting innesluter allt i sig, som hos Newton. Styrkan i deras position är att vi a priori kan få insikt i den empiriska världens matematiska egenskaper och vinna apodiktisk kunskap om alla objekt som den innehåller. Men samtidigt går deras anspråket bortom möjlig erfarenhet, utan att kunna rättfärdiga det: vi har kunskap om saker, rum tid, som vi inte kan erfara, endast Gud: det oändliga rummet är hans ”gränslösa uniforma sensorium” (his boundless uniform Sensorium).[2] Matematikens applicerbarhet garanteras, men så att säga också bortom gränserna för applicerbarhet.
Båda sidor står därmed för Kant på sina respektive sätt i strid med principerna för erfarenhet: metafysikern med kravet på applikationen ska vara säkerställd a priori, matematikerna med kravet på gränser för applikation.
Kants lösning är det som går under beteckningen transcendental idealism, vilket inte står i motsats till empirisk realism, utan tvärtom är det som garanterar den, medan metafysikerna såväl som matematikerna för Kant hamnar i skepticism: de förra i en empirisk idealism som antar rum och tid som skapelser av vår inbillning, de senar i en transcendental realism som antar rum och tid som ting i sig om vilka endast Gud förefaller kunna ha kunskap. Om rum och tid är aprioriska rena former hos vår åskådning så ger detta säkerställda former för kunskap om alla möjliga föremål, liksom det också visar matematikens prioritet i och med att den går bortom rummet och geometrin, och utgör den formella betingelser för föreställning av föremål i rum.[3] Den transcendentala idealismen ska på så sätt visa såväl kravet på apodiktisk sanning som på applicerbarhet: såsom rena former för sinnlig åskådning är rum och tid grund till det apodiktiska i de syntetiska a priori-satserna, samtidigt som de gäller för all alla föremåls försåvitt dessa kan ges i erfarenheten.
Bortom Kant
Men har inte Kants lösning, oavsett dess eventuella fördelar i förhållande till metafysikerna och matematikerna, blivit obsolet av andra skäl? Vetenskaperna har utvecklats, den newtonska värld han antog – och det fanns på hans tid förvisso inga grunder till att göra något annat – finns inte kvar, och lika lite som hans psykologiska förklaring till matematiken syntetiska karaktär kan upprätthållas torde detaljerna i hans vidare explikationer av hur den ligger till grund för den rena naturvetenskapen kunna bevaras.
Men kanske finns ett annat sätt att formulera den intuition som ligger till grund för det syntetiska apriorit på ett sätt som går bortom Kants vokabulär med dess beroende av Newton. Det handlar inte om huruvida jag redan tänker tolv i additionen av sju och fem, om tolv ingå i min föreställning, inte om att det tar tid att räkna stora tal, eller om finna en direkt länk mellan vissa syntetisk-aprioriska begrepp och erfarenheten som skulle låsa fast utvecklingen vid ett visst stadium, vilket är en vanlig invändning som kan stödja sig på hans krav på att transcendentalfilosofin ska vara fullständig och utgöra ett system, även om det inte är tydligt hur långt hans anspråk sträcket sig; kritiken ska ”skissera hela planen arkitektoniskt, dvs. utifrån principer med full garanti för fullständigheten och säkerheten hos all de dela som utgör denna [transcendentalfilosofins] byggnad”, samtidigt som denna filosofi bara är ”idén om en vetenskap” (B27). Kants tvekan huruvida kritiken redan är en filosofi eller bara en förberedelse motiverade hans efterföljare till att försöka fullborda systemet, men snarare än att följa denna väg kunde vi lyfta fram till det nödvändigt ofullbordade som ett positivt drag, vilket i matematikens fall säger något om den öppna plats för det syntetisk-aprioriska som hans teori antyder om vi läser honom på generöst sätt.
1. Vi vet a priori att den fysikaliska naturen är oändligt matematiserbar, inte på grund av en insikt i tingen i sig, i något likt ett framträdelsernas översinnliga substrat, utan för att vi bestämmer hur naturen ska svara på våra frågor, vilket gäller oavsett vilka specifika matematiska modeller vi antar för att beskriva rumtiden. Från Newton till Einstein och vidare mot vad som nu än väntar på oss vid horisonten kommer detta fortfarande att vara giltigt. Att våra fysikaliska modeller för ögonblicket stöter mot gränser, att de inte är kompatibla, innebär i detta perspektiv inget annat än att de är ofullständiga, inadekvata, och kanske kommer att förbli det, inte att det någonstans skulle finnas en gräns för vad som kan formuleras (även om detta i och för sig är möjligt finns inga speciella skäl att anta något sådant).
2. Att alla tänkbara fysikaliska rumtider, med alla tänkbara geometrier, kommer att ha en matematisk beskrivning – som i sig måste vara koherent, motsägelsefri och apodiktisk – säger något mer än motsägelselagen, men ännu inte vilken av dem som kommer att utgöra ett användbart redskap för att beskriva den fysikaliska universum. Den intuition som vägleder Kant, att alla aprioriska modeller, oavsett vilka de är, måste syntetiseras med något givet för att ge kunskap, skulle därmed kunna lösgöras från det slutna i hans systematik och peka hän mot en öppen framtid.
[1] Ett exempel på detta är Freges avvisande av att mening kan ses som föreställning (Vorstellung): ”Man måste skilja ett teckens mening och betydelse från den föreställning som förknippas med det. Om ett teckens betydelse är ett föremål som kan varseblivas sinnligt, så är min föreställning om detta föremål en inre bild som uppstått genom erinringar av sinnesintryck som jag haft, och genom såväl inre som yttre aktiviteter.” ”Om mening och betydelse”, i Frege, Skrifter i urval, övers. Daniel Birnbaum och Sven-Olov Wallenstein (Stockholm: Thales, 1995), 37. Inget kunde vara längre från Kant, där föreställning är det mest allmänna, släktet, av vilket perception, förnimmelse, kunskap, åskådning och begrepp utgör underavdelningar, species (se A320/B377); Freges ”föreställning” motsvarar ungefär Kants ”förnimmelse”.
[2] Se Opticks, Query 31.
[3] Frågan hur tiden som den formella betingelsen för föreställningar i rummet själv kan representeras introducerat samtidigt något likt en sammanflätning av de två som visar att dess prioritet inte är enkel: vi kan inte ”föreställa oss tiden, som ju inte alls är föremål för yttre åskådning, på något annat sätt än med hjälp av bilden av en linje som vi drar, eftersom vi inte skulle kunna ha någon kunskap om enheten i dess dimension utan detta framställningssätt” (B156). I satsen ”Tiden har endast en dimension” (A31/B47) ligger på så sätt redan ett slags metafor, en överföring eller analogi som tillåter tiden att tänkas likt en linje, samtidigt som analogin är principiellt missvisande i och med att den gör tidens konstitutiva rörelse till något ”vi drar” i rummet, vilket förefaller göra dess riktning reversibel. Endimensionalitet kunde vara ett annat sätt att uttrycka den vardagliga tanken att tiden går åt ett håll, men besvarar inte den skenbart barnsliga, närmast retfulla, frågan åt vilket håll den i så fall går. Inget i bilden av linje eller en talserie säger oss i vilken riktning vi ska följa den.
