”Alla kroppar är utsträckta”

 Om geometrins aprioriska möjligheter

Charlotta Weigelt

”Alla kroppar är utsträckta” är det exempel som Kant ger på en analytisk sats i Kritik av det rena förnuftet när han introducerar distinktionen mellan analytiska och syntetiska satser (B11). Utmärkande för de förra är att vi i predikatet inte går utöver vad som redan ligger i satsens subjekt, vi förklarar eller analyserar bara vad som menas med eller ligger i begreppet, i det här fallet kropp, nämligen utsträckthet. Vi behöver ingen åskådning, som Kant säger, för att gå från subjekt till predikat, utan rör oss här inom blotta begrepp. Åskådning behöver vi för att grunda syntetiska satser, där predikatet lägger någonting till subjektet. När det gäller vanliga empiriska omdömen, som ”Kant föddes för 300 år sedan”, behöver vi våra sinnen, och på matematikens område, vars satser enligt Kant är syntetiska satser a priori, behövs ett annat slags åskådning. Ett exempel på en sådan sats är ”rummet har endast tre dimensioner” (se B41): detta är enligt Kant inte en begreppslig sanning, i och med att begreppet rum inte i sig inkluderar tredimensionalitet, men likväl är det en ren förnuftssanning.

När jag läste filosofi på Stockholms universitet på 90-talet, där utbildningen var präglad av den analytiska filosofin och dess fokus på språkfilosofiska frågor, var standardexemplet på en analytisk sats ”En ungkarl är en ogift man”. Detta är uppenbart en sats om vårt språkbruk: den anger vad vi menar när vi säger ”ungkarl”. Om vi ville, skulle vi utan större problem kunna ändra vårt begrepp om ungkarlar. Självklart kan vi också använda ordet kropp i en annan mening, men Kant uppfattar definitioner på det sättet, det vill säga som om de enbart skulle handla om vårt språk. I själva verket är det bara inom matematiken vi har definitioner, säger han i slutet av Kritik av det rena förnuftet (A 729/B757), för här konstruerar vi begrepp genom åskådning, vilket samtidigt ger oss föremålet. Vi behöver alltså inte oroa oss för att vårt begrepp inte skulle motsvaras av något föremål, exempelvis om vi formar begreppet triangel som ”den enda figur som består av tre räta linjer”. Och att en kropp är det som har utsträckning förstår vi om vi utgår från en föreställning om en kropp och sedan abstraherar från alla bestämningar som kommer från antingen förståndet eller sinnena, som substans respektive hårdhet; då får vi bara utsträckningen och gestalten kvar, och då har vi vunnit inte bara begreppet kropp utan också sinnlighetens rena form, det vill säga rummet.

Jag har valt kontrasten mellan dessa två analytiska satser som utgångspunkt för mitt bidrag, då jag tänker mig att skillnaden är signifikativ för vad som händer med förståelsen av apriorit inom den tidiga analytiska filosofin (särskilt den logiska positivismen) vilket är ämnet här. Mer precist ska jag säga något om hur man resonerar i den tidiga analytiska filosofin kring Kants idé att geometrin är syntetisk a priori, i ljuset av den s.k. andra vetenskapliga revolutionen vid 1900-talets början, med Einsteins relativitetsteori och den icke-euklidiska geometrin. 

Kant tänkte sig nämligen att geometrin, ”utsträckningens matematik” (B204), är nödvändigt sann och universellt giltig, och geometri är för honom euklidisk geometri.

De tidiga analytiska filosoferna (som jag här talar om som en grupp, men jag tänker särskilt på Moritz Schlick, A. J. Ayer, Rudolf Carnap och Hans Reichenbach, där särskilt de två senare var starkt influerade av Kant) har generellt ingenting till övers för det syntetiska apriorit, vilket hänger ihop med deras misstänksamhet mot metafysik, vilket de för övrigt har just från Kant. Men i deras ögon innebär Kants idé om syntetiskt a priori en rationalistisk metafysik, där man tror sig att på rena förnuftsgrunder, det vill säga utan empiri, kunna vinna kunskap om den empiriska världen. Matematiken är således analytisk, och det finns här som redan antytts en tendens att uppfatta analytiska satser som satser om vårt språk, som klargör hur vi använder våra ord och symboler. Analytiska satser är då i grunden tautologier, och de enda satser som kan rättfärdigas a priori. Detta banar väg för tanken att naturvetenskapen, som ju vilar på bland annat definitioner av företeelser som tid, rum, rörelse, inte kan ges någon absolut grund, utan dess yttersta grunder är konventioner.

Bakgrunden är alltså att den nya vetenskapen: relativitetsteorin och den icke-euklidiska geometrin (som innebär att man ger upp Euklides parallellaxiom), tycks visa att även våra mest grundläggande föreställningar om tid och rum kan utmanas. I korthet har den allmänna relativitetsteorin ersatt det euklidiska tredimensionella rummet med en fyrdimensionell rums-tidslig mångfald med varierande krökning. Och medan Kant tänkte sig att geometrin handlar om utsträckning eller om det formella rummet, har man vid början av 1900-talet utvecklat en ren, axiomatiserad geometri (här kan särskilt David Hilbert nämnas) som enligt vissa egentligen inte handlar om någonting utan är ett abstrakt system, där definitionerna av de förment rumsliga begreppen (som punkt, linje, osv.) ges av axiomen och inte av någon mystisk åskådning. Här finns alltså ingen koppling till erfarenheten alls.

Självklart är det ingen som förnekar att vi uppfattar ett rum i tre dimensioner: poängen är att den euklidiska geometrin inte är universellt giltig eller nödvändig, vilket väcker frågan om dess epistemologiska status. Kan den verkligen sägas vara syntetisk a priori om den förutsätter att rummet bara kan ha tre dimensioner? Å andra sidan, vad ska vi säga om den icke-euklidiska geometrin; kan den alls relateras till vår rumsåskådning? Och hur kan relativitetsteorin, vilken förutsätter icke-euklidisk geometri, relateras till vår levda erfarenhet, vilket den väl måste göra om den ska kunna anses vara en empirisk teori och inte metafysisk spekulation? Dessa frågor leder till att det syntetiska apriorit gör comeback.

Hos såväl Schlick, Carnap som Reichenbach formuleras ovanstående frågor som ett problem rörande hur vi kan finna principer för hur vetenskapen, med dess abstrakta, matematiska strukturer, kan koordineras med eller tillordnas sinneserfarenheten och dess föremål, alltså den fysiska verkligheten. Detta problem, kan man notera, är i grund och botten lika gammalt som filosofin själv. Om man frågar Aristoteles hur det är möjligt att bestämma rörelse, kan han hänvisa till att den fysiska världen är ändlig i sin utsträckning, och att jorden befinner sig stilla i dess mitt. Här har vi alltså en fast referenspunkt, i relation till vilken all rörelse kan bestämmas. Det har mening att säga till exempel att tunga föremål rör sig nedåt. Och vad gäller mätningen av rörelse (och även av tid), har vi himlakropparnas eviga, cykliska rörelser som ett givet mått. För Kant är utmaningen att finna en referensram eller ett ordnat rum i ett oändligt rum utan priviligierade positioner eller givna måttstockar. Svaret är på den utmaningen är just transcendentalfilosofin: vetenskapens abstrakta, matematiska representation av sådant som rum, tid, rörelse, kausalitet, osv. har ytterst sin förutsättning i vår sinneserfarenhet, nämligen i kraft av de åskådningsformer respektive begrepp och kategorier som organiserar vår erfarenhet och tillika utgör aprioriska villkor för erfarenhetens objekt. Vi behöver inte oroa oss för att Euklides geometri inte skulle vara tillämpbart på rummet, eftersom den artikulerar de grundläggande principer som låter rumsliga föremål framträda för oss. Samma sak med Newtons mekanik, och mer precist hans lagar för rörelse, som de mer kantianskt lagda av de logiska positivisterna ser som inte blott empiriska generaliseringar utan som just aprioriska betingelser (koordineringsprinciper) vilka etablerar det ordnade rum (tröghetsrummet) som gör att – i det här fallet – fysiken har en tillämpning. Vissa delar av vetenskapen själv tänks alltså vara konstitutiva för vetenskapens föremål. Reichenbach tänker sig att detta är överförbart på relativitetsteorin, det vill säga, extremt förenklat, att inom den speciella relativitetsteorin fungerar Einsteins lagar om rörelse på liknande sätt, de ger oss rumstiden tänkt som ett slags koordinatsystem – medan den allmänna relativitetsteorin ger oss den krökta mångfald som underligger alla rums-tidsliga strukturer.

Som detta antyder är positivisternas resonemang kring de koordineringsprinciper som krävs för att kunna förstå hur den är tillämpbar på den fysiska världen avgjort komplexa. Allt jag vill göra här är att uppmärksamma det faktum att man försöker ta tillvara på arvet från Kant, nämligen att vi måste anta från vissa aprioriska betingelser (och åtminstone Carnap talade om ett syntetiskt apriori) vilka så att säga ger oss den vetenskapliga världen.

Här finns lite olika ansatser, som kan tyckas ganska icke-intuitiva: inom fenomenologin utgår man ju från livsvärlden och försöker förstå hur vetenskapen blir möjlig som en idealisering av denna, och liknande tankar finns förvisso hos bland annat Schlick och Carnap, på så sätt att de utgår från den subjektiva erfarenheten och försöker relatera den eller ”översätta” den till rumstiden, betraktad som ett koordinatsystem. Detta förfarande kan beskrivas som ett slags avsubjektivering av erfarenheten genom begreppsprojektion, för att på så sätt undvika Kants idé om åskådning.

Jag tror att det sistnämnda är avgörande för positivisternas utveckling i en mer pragmatisk riktning, där vetenskapen i sista hand tänks vara grundad i beslut och konventioner, inte i åskådning. Jag ska som avslutning bara nämna Carnaps försök i sin avhandling, Der Raum från 1921, där han skilde mellan ett formellt, fysiskt och ett åskådningsrum. Det senare har inte fullt ut samma metriska struktur som det euklidiska rummet, utan bara en topologisk struktur som inkluderar både det euklidiska och det icke-euklidiska rummet. Då innehåller vårt åskådningsrum fysikens alla möjliga föremål, och det formella rummets matematiska strukturer (de metriska strukturerna) kan således i sin tur appliceras på föremålen för vår erfarenhet genom den förmedling som ges av det rumsåskådningen (precis som Kant skulle säga). Den topologiska strukturen är då a priori, given av formen för vår rumsliga åskådning (vi uppfattar t.ex. dimensioner, krökning, osv.), medan den metriska strukturen är valfri; så här spelar konventioner in. Annorlunda uttryckt har vi å ena sidan den primära, erfarna världen, som är nödvändig och inbegriper nämnda topologiska ordning; å andra sidan har vi den sekundära värld som fysiken talar om, vilken är ett möjligt, inte nödvändigt, sätt att förklara världen på. Likväl är den konstitutiv för vår – vetenskapliga – erfarenhet, på så sätt att det är den som så att säga genererar föremål för erfarenheten som kan underkastas förklaring genom naturlagar. På så sätt förenar alltså de logiska positivisterna arvet från Kant med konventionalism, i syfte att bevara vad de ser som Kants insikt i nödvändigheten av aprioriska strukturer för vår erfarenhet, för att där alls ska finnas något för oss att se, så att säga, samtidigt som de omtolkar apriorits nödvändighet i en svagare riktning, nämligen i termer av konventioner som inte kan ges något absolut grund.

Charlotta Weigelt är professor i filosofi vid Södertörns högskola